FyDiK = Fyzikální Diskretizace Kontinua
listopad 2009, Petr Frantík
poslední aktualizace: březen 2011
http://www.kitnarf.cz

FyDiK dokumentace (verze 3.26 a pozdější)
Petr Frantík

Obsah

1. Úvod
2. Pojmy
3. Spuštění aplikace
4. Základní objekty a funkční jednotky
5. Hmotný bod
6. Translační pružina
7. Rotační pružina
8. Poznámky
9. Literatura

Úvod

Aplikace FyDiK slouží pro provádění interaktivních simulací nelineárních dynamických systémů, které představují modely mechanických konstrukcí. Lze ji použít pro výpočty kmitání konstrukcí, jejich velkých deformací, porušování materiálu, atp. Řešení probíhá numericky a proto není třeba vyžadovat ani předpokládat lineární chování.

Pojmy

Okrajové podmínky

jsou podmínky, nezávislé na čase, kladené na hodnoty stavových proměnných systému, které musí řešení dynamického systému splňovat.

Dynamický systém

je formální název pro souhrn pravidel časové změny polohy bodu ve stavovém prostoru systému, viz. V aplikaci FyDiK tato pravidla ve většině případů odpovídají druhému Newtonovu zákonu síly.

Počáteční podmínky

jsou podmínky, kladené na hodnoty stavových proměnných systému, které musí řešení dynamického systému splňovat v daném časovém okamžiku. Konkrétně v aplikaci FyDiK v čase nula.

Nelineární chování

znamená, že změna počáteční podmínek není úměrná změně řešení systému. Obecně existují typické nelineární jevy jako skoky, bifurkace, deterministický chaos, viz.

Simulace

slouží pro zjištění jak se bude vyvíjet dynamický systém v čase z určitých počátečních podmínek.

Stavové proměnné

jsou čísla popisující aktuální stav systému v určitém čase. Stav systému je jimi bezezbytku určen. Tyto proměnné odpovídají souřadnicím ve stavovém prostoru systému. V aplikaci FyDiK se především jedná o polohové souřadnice a aktuální rychlosti všech hmotných bodů.

Stavový prostor

je myšlený prostor v němž každý bod odpovídá jedinečnému stavu systému. Jeho souřadnice jsou stavové proměnné systému. Dimenze prostoru je tedy rovna počtu stavových proměnných. Vyvíjející se systém tvoří ve stavovém prostoru spojitou trajektorii.

Trajektorie systému

je zobrazení řešení dynamického systému v jeho stavovém prostoru. Je to spojitá křivka, která reprezentuje vývoj systému v čase. Trajektorie se nemůže v žádném bodě křížit z důvodu jednoznačnosti vývoje, viz.

Spuštění aplikace

Aby bylo možno aplikaci FyDiK spustit, musí být v operačním systému nainstalována Java platforma. Platformu lze stáhnout z adresy http://www.java.com/en/download/manual.jsp. Je-li Java platforma správně nainstalována, lze soubor aplikace fydik2dapplication.jar spustit.

Aplikace FyDiK se spouští buď přímo (kliknutím na soubor fydik2dapplication.jar) nebo z konzoly operačního systému (pokud jí systém disponuje). Spuštění z konzoly je vhodné pro hromadné zpracování a pro sledování podrobných varovných či chybových výpisů. Spuštění z konzoly se provede zapsáním následujícího řetězce do konzoly operačního systému (v případě, že jsme přítomni v adresáři, kde je umístěn soubor fydik2dapplication.jar):

  java -jar fydik2dapplication.jar

  java -jar fydik2dapplication.jar -projectName [name] -directoryName [path]

kde [name] je jméno projektu a [path] je určení adresáře. Například mějme v adresáři C:/fydik umístěn soubor fydik2dapplication.jar a adresář data, ve kterém je umístěn projekt jménem most (soubory jménem most.model.fdk a most.settings.fdk). Pak by spouštěcí řetězec z adresáře C:/fydik vypadal takto:

  java -jar fydik2dapplication.jar -projectName most -directoryName data

Uvedený oddělovač adresářů je závislý na operačním systému.

Základní objekty a funkční jednotky

Model včetně objektů, ze kterých je složen, byl vytvořen tak, aby o něm existoval jasný a jednoduchý fyzikální obraz. Tato koncepce vychází z představy, že je možné tento model v určitém přiblížení reálně vyrobit a ověřit tak přímo jeho vlastnosti či chování. Teprve následně je o takovém modelu uvažováno jako o možné fyzikální diskretizaci spojitého problému. Výhodou tohoto přístupu je zejména jednoduchost a průhlednost výpočtu jeho stavu, čímž odpadá nutnost použití složitého matematického, potažmo programového, aparátu. V konečném důsledku tento přístup vede k jednoduchému a efektivnímu algoritmu, který lze dokonce snadno paralelizovat.

normálová jednotka	ohybová jednotka

Obr. 1: Základní funkční jednotky modelu (nahoře fyzikální představa, dole vzhled v aplikaci FyDiK)

Na obr. 1 jsou v souladu s jejich fyzikální představou znázorněny dvě základní funkční jednotky: normálová jednotka a ohybová jednotka, složené ze tří základních objektů modelu. Normálová jednotka vznikla spojením dvou hmotných bodů pomocí translační pružiny. Ohybová jednotka vznikla spojením dvou translačních pružin pomocí rotační pružiny. Lze říci, že translační pružina dovoluje vázané normálové přetvoření celku a rotační pružina dovoluje vázané ohybové přetvoření celku.

Každý ze tří základních objektů lze z hlediska implementace v jazyce Java chápat jako objekt i ve smyslu objektově orientovaného programování (viz), tj. má své vlastnosti, stav a rozhraní.

Hmotný bod (třída MassPoint)

Hmotný bod je klíčovým objektem modelu. Je vybrán jako jediný nositel hmotnosti a jeho stav je určen souřadnicemi x_i a y_i a složkami rychlosti v_xi a v_yi. Hmotný bod lze chápat rovněž jako kloub, jelikož zprostředkovává kloubové spojení translačních pružin a navíc tento termín vystihuje reálnou představu.

Množina souřadnic a rychlostí každého hmotného bodu tvoří většinu stavových proměnných modelu. V důsledku akumulace hmotnosti jsou body jedinými příjemci silových interakcí. Ostatní objekty slouží, značně zjednodušeně řečeno, pouze pro jejich zatěžování.

Obr. 2: Hmotný bod

Na obr. 2 je znázorněn hmotný bod s indexem i včetně použitého kartézského souřadného systému a svých stavových proměnných.

Každý hmotný bod má následující atributy: hmotnost m_i, počáteční podmínky x_i(0)=x_0i, y_i(0)=y_0i, v_xi(0)=v_x0i, v_yi(0)=v_y0i, okrajové podmínky (např. předepsaná hodnota stavových proměnných) a funkci viskózního útlumu. Funkce viskózního útlumu určuje velikost tlumící síly F_di:

(1)

kde v_i je vektor rychlosti hmotného bodu a c_i, c_2i a c_3i jsou dané koeficienty.

Translační pružina (třída TranslationalSpring)

Rotační pružina (třída RotationalSpring)

Poznámky

Domovská stránka aplikace FyDiK je http://fydik.kitnarf.cz.

Literatura

Wikipedia, the free encyclopedia: Dynamical system, http://en.wikipedia.org

Wikipedia, the free encyclopedia: Nonlinear system, http://en.wikipedia.org

Wikipedia, the free encyclopedia: Object-oriented programming, http://en.wikipedia.org

Macur, J.: Dynamické systémy, http://www.fce.vutbr.cz/studium/materialy/Dynsys